TopCoder SRM523 Div1 Med 500 BricksN

問題文

概要

$ 1 \times 1 \times w $ のベースブロックの上に, $ 1 \times 1 \times i\ (1 \le i \le k) $ のブロックを積み重ねていく.(それぞれいくつでも使える)

ブロックは, "ちゃんと下にブロックがすきまなく詰まっている" かつ "整数座標的な" ところにおける.

高さが高々 $ h $ な積み重ね方の総数を $ \bmod 10^9 + 7 $ で答えよ.

但し, $ 1 \times 1 \times 1 $ を横に $ 3 $ つつなげて置くみたいなのと, $ 1 \times 1 \times 3 $ を置くみたいなのも区別する.

制約

$ 1 \le w, h \le 50,\ 1 \le k \le w $.

解法

うまく説明できないのでソース読んで...

"高さ $ i $ で, ベースブロックの幅が $ j $ のが何通りあるか" で DP する.

高さ $ h $ で幅 $ w $ のを作るには, その上に何を載せるか決めればよい.

上の, 左から $ i $ 番目まで考えたときの数で更に DP をする.

ただし, 全体の DP は "ベースブロック" 基準なので, DP の遷移では, 適当に分割数的なのを掛けなきゃいけないことに注意.

計算量は, 明らかにもう一個は落ちるんだけど, 最大入力突っ込んでも大丈夫だったので, そのままにした.

ソースコード

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constexpr int mod = 1000000007;
int BricksN::countStructures( int W, int H, int K ){
    using Int = long long;
    vector<int> part(W+1);
    part[0] = 1;
    for(int s = 0; s <= W; ++s) for(int use = 1; use <= K; ++use){
        if(s + use <= W) (part[s + use] += part[s]) %= mod;
    }
    vector<int> dp(W+1); dp[0] = 1;

    rep(_, H+1){
        vector<int> qb(W+1);
        for(int w = 0; w <= W; ++w){
            vector<int> tmp(w+1);
            tmp[0] = 1;
            for(int i = 1; i <= w; ++i){
                // 最後に載せない
                tmp[i] = tmp[i-1];
                // 最後に一個だけ載せる
                for(int use = 1; use <= i; ++use)
                    (tmp[i] += (Int)(dp[use]) * part[use] % mod) %= mod;
                // 最後に二個以上載せる
                for(int use = 1; use <= i; ++use)
                    if(i - use - 1 >= 0)
                        (tmp[i] += (Int)(tmp[i - use - 1] - 1) * dp[use] % mod * part[use] % mod) %= mod;
            }
            (qb[w] += tmp[w]) %= mod;
        }
        swap(dp, qb);
    }

    return dp[W];
}

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DP

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